Chúng ta có điều kiện \( x + y + z = 0 \). Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, chúng ta sẽ dùng phương pháp biến đổi để chứng minh rằng

\[
x^3 + y^3 + z^3 \geq -\frac{3}{4}.
\]

Thực hiện phép biến đổi: từ điều kiện \( z = -x - y \), ta có thể thay vào biểu thức:

\[
x^3 + y^3 + z^3 = x^3 + y^3 + (-x - y)^3.
\]

Khi mở rộng \( (-x - y)^3 \):

\[
(-x - y)^3 = - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = -x^3 - y^3 - 3xy(x + y).
\]

Do đó, ta có:

\[
x^3 + y^3 + z^3 = x^3 + y^3 - (x^3 + y^3 + 3xy(x + y)) = -3xy(x + y).
\]

Thay thế \( x + y = -z \), ta có:

\[
x^3 + y^3 + z^3 = -3xy(-z) = 3xyz.
\]

Để kiểm tra bất đẳng thức, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
\frac{x^2 + y^2 + z^2}{3} \geq \sqrt[3]{x^2y^2z^2}.
\]

Vì \( x + y + z = 0 \), ta có \( (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz) = 0 \), tức là \( xy + xz + yz = -\frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2) \).

Ta muốn chứng minh:

\[
x^3 + y^3 + z^3 \geq -\frac{3}{4}.
\]

Ta có thể thấy rõ rằng:

\[
x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \text{ và } xyz \geq -\frac{1}{4} \quad \text{(từ AM-GM cho 3 số).}
\]

Cuối cùng, sử dụng điều này vào biểu thức gốc, ta có:

\[
x^3 + y^3 + z^3 \geq -\frac{3}{4}.
\]

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Do đó, chúng ta có:

\[
x^3 + y^3 + z^3 \geq -\frac{3}{4} \quad \text{với } x + y + z = 0.
\]