a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Vì vậy, ta có:
∠AHK = 90° (1)
Vì ΔABC vuông tại A, nên ∠BAC = 90°. Khi đó, ta có:
∠HAC = ∠BAC - ∠BAH = 90° - ∠BAH (2)
Vì AB < AC, nên ∠BAH > ∠CAH. Từ đó, suy ra ∠HAC < ∠CAH. Kết hợp với (2), ta có:
∠HAC < 90° - ∠HAC
2∠HAC < 90°
∠HAC < 45° (3)
Từ (1) và (3), ta có:
∠HKC = ∠HAC < 45°
Vậy AC song song với HK.

b) Ta có:
∠HMC = 90° (góc vuông)
∠HNC = 90° (góc vuông)
Vì ∠HMC = ∠HNC = 90°, nên MNHC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính HC. Khi đó, ta có:
∠MNC = ∠MHC = ∠NHC (cùng nằm trên cung MH của đường tròn đường kính HC)
∠MNC = ∠NHC (cùng nằm trên cung NH của đường tròn đường kính HC)
Vậy MNCK là hình thang cân.

c) Ta có:
∠MNH = 90° (góc vuông)
∠MCH = ∠NCH (HC là đường cao)
∠MCH = ∠NCH = ∠HAC (cùng nằm trên cung AH của đường tròn đường kính HC)
Vậy ΔMCH và ΔNCH đồng dạng.
Do đó, ta có:
MC/NC = CH/CH = 1
MC = NC
Vì I là trung điểm của HC, nên IM = IC = IN. Khi đó, ta có:
∠MIN = ∠MIC + ∠NIC = ∠MCH + ∠NCH = 2∠HAC
Vì MN cắt AH tại O, nên ta có:
∠MNO = ∠HAC
Vậy ∠MIN = ∠MNO.
Từ đó, suy ra ΔMIN đồng dạng với ΔMNO.
Vì I là trung điểm của AK, nên ta có:
IM = IA/2
IN = IA/2
Vì MN cắt AK tại O, nên ta có:
∠MNO = ∠IAK
Vậy ΔMIN đồng dạng với ΔIAK.
Do đó, ta có:
MN/AK = MI/IA = 1/2
MN = AK/2
Vậy AK = 2MN.
Từ AK = 2MN, ta có:
AK = 2(MN + NO)
AK = 2(MN + CO)
AK = 2(AD + CO) (vì CO = AD)
AK = 2AD + 2CO
AK = 2AD + CO + CO
AK = 3AD + CO
Vậy AK = 3AD.