a) Ta có:
- Góc AOM và góc BOM là góc nội tiếp trên cùng cung AMB, nên chúng bằng nhau.
- Góc AOB là góc nội tiếp trên cùng cung AMB, nên góc AOB = 180° - góc AMB.
- Vậy tổng góc AOM và góc BOM là 180° - góc AMB + góc AMB = 180°.
- Do đó, M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
- Ta có MA ⊥ OA và MB ⊥ OB (do MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)), nên góc MAO = góc MBO = 90°.
- Vậy OM ⊥ AB.

b) Ta có:
- I là trung điểm của dây CD, nên ID = IC.
- Ta có góc ODI = góc ODC = góc OAC (cùng chắn cung OD trên đường tròn (O)).
- Ta có góc OAI = góc OAC (cùng chắn cung AD trên đường tròn (O)).
- Vậy góc ODI = góc OAI.
- Ta có góc OIN = góc OIA + góc AIN = góc OAI + góc OAC = góc ODI + góc OAC = góc ODC + góc OAC = góc ODA = góc OAD (cùng chắn cung AD trên đường tròn (O)).
- Vậy góc OIN = góc OAD.
- Vậy OI và ON là hai đường phân giác của góc AON.
- Do đó, OI ⊥ AN.
- Vậy OI ⊥ AB.
- Ta có góc OAI = góc OIN (cùng bằng góc phân giác của góc AON).
- Vậy OI và ON là hai đường phân giác của góc AON.
- Vậy OI và ON là hai đường phân giác của góc AON.

c) Ta có:
- Ta có góc HKA = góc HMA (cùng chắn cung AM trên đường tròn (O)).
- Ta có góc HKB = góc HMB (cùng chắn cung BM trên đường tròn (O)).
- Vậy góc HKA = góc HKB.
- Ta có góc HKA = góc HMA = góc HMB = góc HKB.
- Vậy góc HKA = góc HKB.
- Vậy tam giác HKA và tam giác HKB đồng dạng.
- Vậy HK/HB = HA/HK.
- Vậy HK^2 = HA.HB.
- Ta có góc HNB = góc HMB (cùng chắn cung BM trên đường tròn (O)).
- Ta có góc HNB = góc HKA (cùng chắn cung AK trên đường tròn (O)).
- Vậy góc HNB = góc HKA.
- Vậy tam giác HNB và tam giác HKA đồng dạng.
- Vậy HN/HB = HA/HK.
- Vậy 1/HB + 1/HN = 1/HK.