Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số.

Đặt \(f(x, y) = 16x^2 + 2(y+2)^2 - 3\).

Để tìm điểm cực tiểu của hàm số, ta cần tìm các điểm mà đạo hàm riêng của hàm số theo \(x\) và \(y\) bằng 0.

Đạo hàm riêng theo \(x\): \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 32x\).

Đạo hàm riêng theo \(y\): \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 4(y+2)\).

Để đạo hàm riêng theo \(x\) và \(y\) bằng 0, ta có:

\(32x = 0 \Rightarrow x = 0\)

\(4(y+2) = 0 \Rightarrow y = -2\)

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là \((0, -2)\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, ta thay \(x = 0\) và \(y = -2\) vào biểu thức:

\(16(0)^2 + 2((-2)+2)^2 - 3 = 0 + 2(0)^2 - 3 = -3\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(-3\).