Để chứng minh rằng \( DM = BN \) trong hình chữ nhật \( ABCD \) với các điểm \( E \) và \( F \) được xác định như trong đề bài, ta sẽ tiến hành theo các bước như sau:

1. **Đặt tọa độ cho các điểm**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \), \( D(0, b) \) (với \( a, b > 0 \) là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật).
- Với độ dài \( CD = b \) và \( CB = a \), ta có:
- \( CE = CD = b \) và \( CF = CB = a \).
- Tọa độ của điểm \( E \):
- Điểm \( E \) sẽ nằm trên tia đối của \( CB \), có tọa độ là \( E(a, b + b) = (a, 2b) \).
- Tọa độ của điểm \( F \):
- Điểm \( F \) nằm trên tia đối của \( CD \), có tọa độ là \( F(-a, b) \).

2. **Tìm phương trình đường thẳng \( AE \) và \( AF \)**:
- Đường thẳng \( AE \) có phương trình:
- Hệ số góc \( k_{AE} = \frac{2b - 0}{a - 0} = \frac{2b}{a} \).
- Phương trình tổng quát: \( y = \frac{2b}{a} x \).
- Đường thẳng \( AF \) có phương trình:
- Hệ số góc \( k_{AF} = \frac{b - 0}{-a - 0} = -\frac{b}{a} \).
- Phương trình tổng quát: \( y = -\frac{b}{a} (x) + b \).

3. **Tìm điểm giao \( M \) của \( AE \) và \( CD \)**:
- Điểm \( M \) nằm trên đường thẳng \( CD \), có tọa độ \( M(x, b) \).
- Thay vào phương trình của \( AE \):
\[
b = \frac{2b}{a} x \implies x = \frac{a}{2}.
\]
- Do đó, \( M\left( \frac{a}{2}, b \right) \).

4. **Tìm điểm giao \( N \) của \( AF \) và \( BC \)**:
- Điểm \( N \) nằm trên đường thẳng \( BC \), có tọa độ \( N(a, y) \).
- Thay vào phương trình của \( AF \):
\[
y = -\frac{b}{a}(a) + b = 0.
\]
- Do đó, \( N(a, 0) \).

5. **Tính độ dài \( DM \) và \( BN \)**:
- Độ dài \( DM \):
\[
DM = b - b = 0.
\]
- Độ dài \( BN \):
\[
BN = 0 - 0 = 0.
\]

6. **Kết luận**:
Do vậy, từ các phép tính ở trên, ta thấy rằng
\[
DM = BN = 0.
\]

Như vậy, ta có thể kết luận rằng \( DM = BN \).