Để chứng minh rằng \(IE = IF\) trong hình bình hành \(ABCD\):

### Chứng minh \(IE = IF\)

1. **Đường chéo và tính đối xứng của hình bình hành**:
- Trong hình bình hành \(ABCD\), ta có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) và chúng ta biết rằng đường chéo chia nhau thành hai phần bằng nhau. Do đó, \(AO = OC\) và \(BO = OD\).

2. **Tính chất của các đoạn thẳng**:
- Vì \(IE || BD\) (theo giả thiết) và \(E\) thuộc \(AD\), \(F\) thuộc \(AB\), nên ta có hai tam giác đồng dạng \(\triangle AIE \sim \triangle AIF\).
- Do đó, từ tính chất tỉ lệ trong hai tam giác đồng dạng này, ta có:
\[
\frac{IE}{IF} = \frac{AI}{AI} = 1 \Rightarrow IE = IF
\]

### Gọi \(K, M\) lần lượt là trung điểm của \(BE\) và \(DF\):

3. **Tính chất của các điểm trung điểm**:
- \(K\) và \(M\) là trung điểm của các đoạn thẳng \(BE\) và \(DF\) nên ta có:
\[
BE = EF = FD
\]
- Điều này cho thấy rằng \(K\) và \(M\) có những tính chất đối xứng liên quan đến các đoạn thẳng này.

### Xác định hình tứ giác \(IKOM\):

4. **Hình tứ giác \(IKOM\)**:
- Ta cần chỉ ra rằng 4 điểm \(I\), \(K\), \(O\), \(M\) tạo thành một hình tứ giác có tính chất đặc biệt tùy thuộc vào các đoạn thẳng đã được xác định trước đó.
- Với \(IE || BD\) và \(IF || BD\), chúng ta thấy rằng \(K\) và \(M\) sẽ lần lượt nằm trên các đường thẳng và mang tính đối xứng liên quan đến \(O\).

### Kết luận:

Hình tứ giác \(IKOM\) có thể có hình dạng là một hình chữ nhật hoặc hình bình hành (tùy thuộc vào vị trí cụ thể của \(I\), \(K\), \(O\), và \(M\)). Tuy nhiên, vì các đoạn \(IE\) và \(IF\) bằng nhau và bằng với đoạn giữa \(K\) và \(M\), ta có thể kết luận rằng \(IKOM\) sẽ tạo nên một hình tứ giác đối xứng. Chắc chắn rằng hình tứ giác này có tính chất của một hình chữ nhật trong trường hợp \(IE\) và \(IF\) là các cạnh.

Vì vậy, \(IKOM\) tạo thành một hình chữ nhật hoặc một hình bình hành, tùy vào cách bố trí của các điểm trong không gian.