a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, với đường cao AH. Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC, do đó AH là đường cao của tam giác ABC và cũng là đường trung tuyến của tam giác ADE.

Theo định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
9^2 + 12^2 = BC^2
81 + 144 = BC^2
225 = BC^2
BC = √225
BC = 15cm

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH cắt BC thành hai đoạn BH và HC. Ta có:
BH = AB - AH = 9 - AH
HC = AC - AH = 12 - AH

Vì AH là đường trung tuyến của tam giác ADE, nên AH = 1/2 DE. Ta có:
BH = 1/2 BE
HC = 1/2 CD

Từ đó suy ra:
9 - AH = 1/2 BE
12 - AH = 1/2 CD

Tổng hai phương trình trên ta được:
21 - 2AH = 1/2 (BE + CD)
42 - 4AH = BE + CD

Vì BE + CD = BC, nên ta có:
42 - 4AH = BC
42 - 4AH = 15
4AH = 42 - 15
4AH = 27
AH = 27/4
AH = 6.75cm

b) Để chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp.

Ta có:
∠EAB = 90° (do AE vuông góc với AB)
∠HAC = 90° (do AH vuông góc với AC)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ∠BAC = 90°. Từ đó suy ra:
∠EAB + ∠HAC + ∠BAC = 90° + 90° + 90° = 270°

Do đó, tứ giác AEHD có tổng các góc bằng 270°, tức là tứ giác nội tiếp.

c) Ta cần chứng minh AE.EB + AD.DC = AH^2.

Vì tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp, nên ta có:
∠EAD = ∠EHD (cùng chắn cung EH)
∠EBD = ∠EAD (cùng chắn cung AE)
∠EHD = ∠EBD (cùng chắn cung EH)

Vì ∠EHD = ∠EBD, nên hai tam giác EHD và EBD đồng dạng. Từ đó suy ra:
HD/BD = EH/EB
HD = EH.BD/EB

Vì AH là đường trung tuyến của tam giác ADE, nên AH = 1/2 DE. Từ đó suy ra:
HD = 1/2 DE.BD/EB
HD = 1/2 AD.CD/EB

Từ đó ta có:
AE.EB + AD.DC = AE.EB + 2HD.EB
AE.EB + AD.DC = EB(AE + 2HD)
AE.EB + AD.DC = EB(AE + DE)
AE.EB + AD.DC = EB.AD

Vì AH là đường trung tuyến của tam giác ADE, nên AH = 1/2 DE. Từ đó suy ra:
AE.EB + AD.DC = EB.AD = AH^2

Vậy ta đã chứng minh được AE.EB + AD.DC = AH^2.