Cho (O; R) và đường thẳng d cố định không giao nhau, kẻ OH vuông góc d. Trên d lấy điểm M di động (M khác H)

a) Ta có MA nằm giữa MB và MH, suy ra góc MAB = góc MBA và góc MBA = góc MBH. Do đó, góc MAB = góc MBH.

Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc MAB = góc MOA.

Tương tự, góc MBA = góc MOB.

Vậy góc MOA = góc MOB, suy ra 4 điểm O, A, B, M thuộc cùng một đường tròn.

Để tìm tâm I của đường tròn đó, ta có thể lấy đường trung trực của đoạn thẳng AB và đường trung trực của đoạn thẳng OM. Giao điểm của hai đường trung trực này chính là tâm I của đường tròn.

b) Ta có góc KOM = góc KOB + góc BOM = góc KAB + góc BOM = góc MAH + góc BOM = góc MAO + góc OMB = góc MOA + góc OMB = góc MOB = góc MOH.

Vì góc KOM = góc MOH, nên tam giác OKE đồng dạng tam giác OHM.

c) Khi M di chuyển trên đường thẳng d, ta có AB song song với d. Do đó, giao điểm E của AB và OM cũng nằm trên đường thẳng d.

Vì vậy, K là giao điểm của AB và OH cũng nằm trên đường thẳng d.

Vậy K là một điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d.