Để chứng tỏ rằng hai số là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của hai số đó là 1.

a) Ta xét ước chung của n+5 và n+6. Nếu n+5 và n+6 có ước chung khác 1, thì ước chung đó phải là một số nguyên tố. Tuy nhiên, nếu n+5 và n+6 có ước chung là một số nguyên tố, thì n+5 và n+6 phải cùng chia hết cho số nguyên tố đó. Nhưng n+5 và n+6 chỉ chênh lệch nhau 1 đơn vị, nên không thể cùng chia hết cho số nguyên tố nào. Do đó, ước chung lớn nhất của n+5 và n+6 là 1, tức là hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Ta xét ước chung của 2n+3 và n+2. Tương tự như trường hợp trên, nếu hai số này có ước chung khác 1, thì ước chung đó phải là một số nguyên tố. Nhưng 2n+3 và n+2 không thể cùng chia hết cho số nguyên tố nào, vì chênh lệch giữa hai số này là 1 đơn vị. Do đó, ước chung lớn nhất của 2n+3 và n+2 là 1, tức là hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau.

c) Ta xét ước chung của 3n+1 và 4n+1. Nếu hai số này có ước chung khác 1, thì ước chung đó phải là một số nguyên tố. Nhưng 3n+1 và 4n+1 không thể cùng chia hết cho số nguyên tố nào, vì chênh lệch giữa hai số này là 1 đơn vị. Do đó, ước chung lớn nhất của 3n+1 và 4n+1 là 1, tức là hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau.

d) Ta xét ước chung của 3n+4 và 2n+3. Nếu hai số này có ước chung khác 1, thì ước chung đó phải là một số nguyên tố. Nhưng 3n+4 và 2n+3 không thể cùng chia hết cho số nguyên tố nào, vì chênh lệch giữa hai số này là 1 đơn vị. Do đó, ước chung lớn nhất của 3n+4 và 2n+3 là 1, tức là hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau.