Cho tam giác vuông tại A ( AB < AC ) có I là trung điểm của cạnh AC . Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt BI tại D

Để chứng minh 3 điểm H, G, C thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng HG // AC.

Ta có:
- Vì AB // CD và AD là đường chéo của hình bình hành ABCD, nên theo định lí Thales, ta có: $\frac{AI}{ID} = \frac{AB}{CD}$.
- Vì IK // AB, nên theo định lí Thales, ta có: $\frac{AI}{IK} = \frac{AB}{BK}$.
- Vì I là trung điểm của AC, nên ta có: $\frac{AI}{IK} = \frac{AC}{CK}$.

Từ hai đẳng thức trên, ta có: $\frac{AB}{BK} = \frac{AC}{CK}$.

Áp dụng định lí Thales cho tam giác ABC, ta có: $\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{CK}$.

So sánh hai đẳng thức trên, ta thấy $\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AC}$.

Vậy theo định lí Thales, ta có: HG // AC.

Do đó, 3 điểm H, G, C thẳng hàng.