Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán như sau:

### a) Chứng minh tam giác BMA = tam giác BMD:

Để chứng minh tam giác \(BMA\) bằng tam giác \(BMD\), chúng ta cần chỉ ra rằng các cạnh tương ứng và các góc tương ứng bằng nhau.

1. **Cạnh chung**: Tam giác \(BMA\) và tam giác \(BMD\) có cạnh \(BM\) chung.

2. **Góc**: Do tia \(BM\) là tia phân giác của góc \(ABC\), ta có:
\[
\angle ABM = \angle DBC
\]

3. **Góc vuông**: Do \(MD \perp BC\), ta có:
\[
\angle BMD = 90^\circ.
\]
Mặt khác, tam giác \(BMA\) có góc \(MAB\) cũng bằng \(90^\circ\) vì nó vuông tại \(A\).

Từ đó, ta có:
\[
\angle ABM = \angle DBC \quad (1),
\]
\[
\angle BMA = 90^\circ \quad (2)
\]
và \(\angle BMD = 90^\circ\) (mà \(D\) nằm trên \(BC\)) (3).

Do đó, từ (1), (2) và (3), ta có:
\[
\Delta BMA \cong \Delta BMD
\]
theo tiêu chí \(C - G -C\) (1 cạnh và 2 góc tương ứng).

### b) Chứng minh tam giác \(BAD\) cân:

Để chứng minh tam giác \(BAD\) là tam giác cân, ta cần chỉ ra rằng \(AB = AD\).

Từ phần a), ta đã chứng minh rằng tam giác \(BMA \cong BMD\). Suy ra:
\[
AM = MD
\]

Vì \(M\) nằm trên cạnh \(AC\) và \(AD\) là đoạn thẳng từ \(A\) đến \(D\), mà \(M\) là điểm nằm trên \(AC\) động nghĩa là \(AD\) cũng sẽ cắt \(M\) ở vị trí xuôi theo chiều \(A\).

Do đó, ta có \(AB = AD\) và tam giác \(BAD\) là tam giác cân.

### c) Chứng minh \(BM\) vuông góc với \(AD\):

Chúng ta chứng minh rằng:
\[
\angle BMA = \angle DMA
\]

Từ phần a), ta đã có \(\angle BMA = \angle BMD\) và \(\angle BMD = 90^\circ\), do đó, ta có:
\[
\angle DMA = \angle BMA = 90^\circ
\]

Vì vậy, \(BM \perp AD\) theo định nghĩa.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh rằng:
- Tam giác \(BMA\) bằng với tam giác \(BMD\).
- Tam giác \(BAD\) là tam giác cân.
- Và \(BM\) vuông góc với \(AD\).

Vậy kết thúc bài toán.