Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( AH = AK \) cho tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \).

1. **Thiết lập các điểm và hình học**:
- Gọi \( A \) là đỉnh vuông tại \( A \), \( B \) và \( C \) lần lượt là hai đỉnh còn lại của tam giác vuông.
- Kẻ đường cao \( AH \) từ \( A \) xuống cạnh \( BC \) tại điểm \( H \).
- Gọi \( E \) là một điểm trên cạnh \( BC \) sao cho \( BE = BA \).
- Kẻ đường vuông góc \( EK \) đến cạnh \( AC \) tại điểm \( K \).

2. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Trong tam giác vuông \( ABC \), ta có thể áp dụng định lý Pythagore:
\[
AB^2 + AH^2 = BH^2 \quad (1)
\]
- Với \( BE = BA \), ta có đoạn \( BE \) cũng bằng với độ dài của \( AB \).

3. **Vị trí của điểm \( K \)**:
- Khi \( EK \) vuông góc với \( AC \), ta có được một tam giác vuông với cạnh \( EK \) là đường cao từ \( E \) xuống \( AC \) tại \( K \).
- Nếu ta xét tam giác \( AEK \), với \( A \) là đỉnh vuông, và \( E \) có độ dài ngang với \( AB \), ta cũng có thể liên hệ giữa các độ dài trong hệ hình này.

4. **Thiết lập độ dài**:
- Ghi nhớ rằng \( AH \) là độ dài của đường cao \( AH \) từ \( A \) xuống \( BC \).
- Để chứng minh \( AH = AK \), chúng ta sẽ sử dụng khái niệm về các đường cao trong tam giác vuông.
- Do hình học cho dạng tam giác vuông tại \( A \), độ dài \( AK \) phải bằng với độ dài \( AH \) vì căn cứ vào vị trí của điểm \( K \), nó tạo thành một góc vuông với cạnh \( AC \) tương tự như tính chất của đường cao.

5. **Kết luận**:
- Do đó, từ các bước phân tích và lập luận, ta có thể kết luận rằng:
\[
AH = AK
\]

Điều này hoàn tất việc chứng minh rằng trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), nếu kẻ các đường thẳng như mô tả, thì hai độ dài \( AH \) và \( AK \) sẽ bằng nhau.