Tính A = lim (1+1/2+1/3+...1/n)/(1+1/2+1/3+...1/n+1)

Để tính giới hạn A, ta sẽ sử dụng định lý giới hạn của dãy.

Ta có dãy số dương a_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n, và dãy số dương b_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1.

Ta sẽ chứng minh rằng dãy a_n và b_n đều hội tụ và giới hạn của chúng là cùng một số.

Đầu tiên, ta chứng minh dãy a_n là một dãy tăng.

Giả sử a_n < a_(n+1), tức là 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n < 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1).

Simplifying the inequality, we get 1/(n+1) > 0, which is true for all positive integers n.

Vậy, dãy a_n là một dãy tăng.

Tiếp theo, ta chứng minh dãy b_n là một dãy giảm.

Giả sử b_n > b_(n+1), tức là 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1 > 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1).

Simplifying the inequality, we get 1/(n+1) > 0, which is true for all positive integers n.

Vậy, dãy b_n là một dãy giảm.

Do đó, dãy a_n và b_n đều hội tụ.

Ta gọi giới hạn của cả hai dãy là L.

Vì dãy a_n là một dãy tăng, nên giới hạn của nó sẽ không vượt quá giới hạn của dãy b_n.

Tức là L ≤ A.

Tương tự, vì dãy b_n là một dãy giảm, nên giới hạn của nó sẽ không nhỏ hơn giới hạn của dãy a_n.

Tức là L ≥ A.

Vậy, ta có L = A.

Do đó, A = lim (1+1/2+1/3+...1/n)/(1+1/2+1/3+...1/n+1) = L.

Để tính giá trị của L, ta có thể sử dụng công thức Euler-Mascheroni:

L = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) = ln(n) + γ, với γ là hằng số Euler-Mascheroni.

Vậy, A = L = ln(n) + γ.