a) Để hai số n + 2 và n + 3 cùng nhau, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho (n + 2) và (n + 3) không có ước chung nào ngoài 1.

Ta có thể sử dụng định lý Euclid để giải bài toán này. Định lý Euclid nói rằng, nếu hai số a và b không có ước chung nào ngoài 1, thì a và a + b cũng không có ước chung nào ngoài 1.

Áp dụng định lý Euclid vào bài toán này, ta có:
- Nếu (n + 2) và (n + 3) không có ước chung nào ngoài 1, thì (n + 2) và [(n + 2) + (n + 3)] = 2n + 5 cũng không có ước chung nào ngoài 1.
- Tương tự, nếu (n + 2) và 2n + 5 không có ước chung nào ngoài 1, thì (n + 2) và [(n + 2) + (2n + 5)] = 3n + 7 cũng không có ước chung nào ngoài 1.
- Tiếp tục quá trình này, ta có thể thấy rằng (n + 2) và (n + 3), (n + 2) và 2n + 5, (n + 2) và 3n + 7, ... đều không có ước chung nào ngoài 1.

Vậy, để (n + 2) và (n + 3) cùng nhau, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho (n + 2) và (n + 3) không có ước chung nào ngoài 1. Tuy nhiên, không có số tự nhiên n nào thỏa mãn điều kiện này vì (n + 2) và (n + 3) luôn có ước chung là 1.

b) Để hai số 2n + 1 và 9n + 4 cùng nhau, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho (2n + 1) và (9n + 4) không có ước chung nào ngoài 1.

Ta có thể sử dụng định lý Euclid như trên để giải bài toán này. Áp dụng định lý Euclid, ta có:
- Nếu (2n + 1) và (9n + 4) không có ước chung nào ngoài 1, thì (2n + 1) và [(2n + 1) + (9n + 4)] = 11n + 5 cũng không có ước chung nào ngoài 1.
- Tương tự, nếu (2n + 1) và 11n + 5 không có ước chung nào ngoài 1, thì (2n + 1) và [(2n + 1) + (11n + 5)] = 13n + 6 cũng không có ước chung nào ngoài 1.
- Tiếp tục quá trình này, ta có thể thấy rằng (2n + 1) và (9n + 4), (2n + 1) và 11n + 5, (2n + 1) và 13n + 6, ... đều không có ước chung nào ngoài 1.

Vậy, để (2n + 1) và (9n + 4) cùng nhau, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho (2n + 1) và (9n + 4) không có ước chung nào ngoài 1. Tuy nhiên, không có số tự nhiên n nào thỏa mãn điều kiện này vì (2n + 1) và (9n + 4) luôn có ước chung là 1.