a) Ta có ME vuông góc với AH và MF vuông góc với BC, nên tứ giác MEHF là hình chữ nhật vì các cạnh đối diện của nó vuông góc với nhau và bằng nhau.

b) Ta có ABC là tam giác vuông tại A, nên góc AMB = 90°. Từ đó suy ra góc AMF = góc AMB = 90°.

c) Gọi N là giao điểm của đường thẳng qua C vuông góc với AC và tia đối của tia MB. Ta cần chứng minh tứ giác ABCN là hình bình hành.

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. Vì BN vuông góc với AC và MC vuông góc với BC, nên BN cũng vuông góc với BC. Từ đó suy ra tứ giác ABCN là hình bình hành vì có hai cạnh đối diện vuông góc và bằng nhau.

d) Ta cần chứng minh AK vuông góc với BM.

Vì M là trung điểm của BC, nên AM song song với HN (do AH là đường cao của tam giác ABC và M là trung điểm của BC).

Vì tứ giác ABCN là hình bình hành, nên AC song song với BN.

Vậy, ta có AM || HN và AC || BN. Từ đó suy ra AM || HN || AC || BN.

Vì AM và BN cắt nhau tại K, nên AK vuông góc với BM (do hai đường thẳng cắt nhau tạo ra các góc đối nhau vuông góc).