Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( C, D là các tiếp điểm )

a, Chứng minh 4 điểm M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn:
Ta có:
∠MOC = 90° (do MC là tiếp tuyến của đường tròn tại C)
∠MOD = 90° (do MD là tiếp tuyến của đường tròn tại D)
Vậy tứ giác MOCĐ là tứ giác nội tiếp, do đó 4 điểm M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn.

b, Chứng minh KD.KM = KO.K:
Ta có:
∠KDM = ∠KOM (do MD // KO)
∠KMD = ∠KMO (do MD // KO)
Vậy tứ giác KDMO là tứ giác nội tiếp, do đó KD.KM = KO.K.

c, Để diện tích tam giác MEF đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M sao cho đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD lần lượt tại E và F.

Gọi G là giao điểm của đường thẳng MC và OD.
Ta có:
∠MCG = ∠MOC (do MC // OD)
∠MGC = ∠MOD (do MC // OD)
Vậy tứ giác MCGO là tứ giác nội tiếp, do đó MG.MC = MO.MO.

Gọi H là giao điểm của đường thẳng MD và OC.
Ta có:
∠MHD = ∠MOD (do MD // OC)
∠MHG = ∠MOC (do MD // OC)
Vậy tứ giác MHGO là tứ giác nội tiếp, do đó MH.MD = MO.MO.

Từ hai biểu thức trên, ta có:
MG.MC = MH.MD
⇒ MG/MH = MD/MC

Vậy MG/MH = MD/MC khi và chỉ khi tam giác MEF là tam giác đồng dạng với tam giác MGH.

Do đó, để diện tích tam giác MEF đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần chọn điểm M sao cho tam giác MEF đồng dạng với tam giác MGH.