Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ). Lấy M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho BM > MC và M khác nhau C. Gọi N và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các cạnh AB và AC

1) Ta có AM là đường cao của tam giác ABC nên AM là đường trung tuyến của tam giác BMN. Do đó, ta có BM = MN.
Vì BM > MC nên ta có BM > MN = MD.
Mà góc MDC = góc MNC = 90 độ nên tam giác MDC và tam giác MNC đồng dạng.
Do đó, ta có góc MCD = góc MCN.
Vì góc MCD + góc MCN = 90 độ nên góc MCD = góc MCN = 90/2 = 45 độ.
Tương tự, ta có góc MDA = góc MAN = 45 độ.
Vậy tứ giác ADMN là hình chữ nhật.

2) Ta có NM = NP nên tam giác NMP là tam giác cân tại N.
Vì góc NMP = góc NPM = 45 độ nên tam giác NMP là tam giác vuông tại M.
Do đó, NM vuông góc với MP.
Mà góc NMD = góc NAD = 90 độ nên NM vuông góc với AD.
Vậy NM // AD.
Tương tự, ta có NP // AD.
Vậy tứ giác APND là hình bình hành.

3) Ta có góc QMN = góc QAN = 90 độ nên tam giác QMN và tam giác QAN đồng dạng.
Do đó, ta có góc QNM = góc QNA.
Vì góc QNM + góc QNA = 90 độ nên góc QNM = góc QNA = 45 độ.
Tương tự, ta có góc QMN = góc QDN = 45 độ.
Vậy tam giác QMN và tam giác QDN đồng dạng.
Do đó, ta có QM/QD = QN/QN = 1.
Vậy O là trung điểm của đoạn thẳng QM.
Từ tứ giác APND là hình bình hành, ta có AQ // ND.
Vậy góc AQN = góc ADN.
Do đó, ta có AQN = ADN.
Vậy AQN = ADN = 45 độ.