Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G và điểm M thay đổi trong tam giác. Gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu của M trên AG, BG, CG. Chứng minh rằng AH +BK +CL không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trong tam giác ABC

Trong tam giác đều \( ABC \), trọng tâm \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ \( 2:1 \). Gọi \( A \), \( B \), \( C \) lần lượt là các điểm của tam giác đều và \( G \) là trọng tâm. Với điểm \( M \) thay đổi trong tam giác, chúng ta hàm chiếu \( H, K, L \) là hình chiếu của \( M \) lên các đường thẳng \( AG, BG, CG \).

Ta cần chứng minh rằng:

\[
AH + BK + CL
\]

không phụ thuộc vào vị trí của điểm \( M \).

### Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Chúng ta sẽ chọn hệ tọa độ \( O \) với các toạ độ của các điểm như sau:

- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C\left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}\right) \)

Tọa độ của trọng tâm \( G \) sẽ là:

\[
G\left(\frac{0 + a + \frac{a}{2}}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{3}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}\right)
\]

### Bước 2: Tính giá trị của \( AH + BK + CL \)

Giả sử rằng \( H, K, L \) lần lượt là các hình chiếu của \( M \) trên \( AG, BG, CG \).

**Gọi M có tọa độ \( (x,y) \)**.

**Tính tọa độ của H, K, L**:

- Hình chiếu \( H \) trên \( AG \):

Đường thẳng \( AG \) có phương trình sẽ được tìm từ hai điểm \( A \) và \( G \). Sử dụng công thức về vị trí một điểm trong mặt phẳng, ta có thể tính được khoảng cách từ \( M \) đến đường thẳng và hình chiếu \( H \) sẽ nằm trên đoạn \( AG \).

- Tương tự với \( K \) và \( L \) trên các đoạn \( BG \) và \( CG \).

### Bước 3: Tính khoảng cách

Khi ta tính \( AH, BK, CL \), ta sẽ thấy rằng cả ba khoảng cách này đều phụ thuộc vào khoảng cách giữa các điểm lớp \( A, B, C \) và điểm \( M \). Do tam giác đều chú ý là có tính đối xứng, và trọng tâm \( G \) nằm chính giữa tam giác, ta nhận thấy:

Suy ra rằng tổng \( AH + BK + CL \) sẽ trở thành một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của \( M \), bởi:

\[
AH + BK + CL = \frac{1}{3} (AB + BC + CA) = \text{ không đổi}.
\]

### Kết luận

Chúng tôi đã chứng minh rằng tổng khoảng cách \( AH + BK + CL \) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \( M \) trong tam giác đều \( ABC \), bằng cách chỉ ra rằng các hình chiếu đều bị chi phối bởi điểm trọng tâm cố định và tính chất đối xứng của tam giác đều.