Cho A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +... + 2^2021. Không tính tổng A, hãy chứng tỏ A chia hết cho 3

Để chứng minh rằng \( A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{2021} \) chia hết cho 3, chúng ta sẽ xét tuần hoàn của \( 2^n \mod 3 \).

Trước tiên, chúng ta tính giá trị của lũy thừa \( 2^n \mod 3 \):

- \( 2^0 \mod 3 = 1 \)
- \( 2^1 \mod 3 = 2 \)
- \( 2^2 \mod 3 = 1 \)
- \( 2^3 \mod 3 = 2 \)

Có vẻ như có một chu kỳ lặp lại: \( 2^n \mod 3 \) có quy luật tuần hoàn với chu kỳ 2, cụ thể:
- Khi \( n \) chẵn (\( n = 0, 2, 4, \ldots \)), \( 2^n \mod 3 = 1 \).
- Khi \( n \) lẻ (\( n = 1, 3, 5, \ldots \)), \( 2^n \mod 3 = 2 \).

Bây giờ, chúng ta xem xét tổng \( A \) cho đến \( 2^{2021} \):
- Số hạng chẵn từ 0 đến 2021 là \( 1011 \) (bao gồm \( 2^0, 2^2, \ldots, 2^{2020} \)).
- Số hạng lẻ từ 1 đến 2021 là \( 1011 \) (bao gồm \( 2^1, 2^3, \ldots, 2^{2021} \)).

Bây giờ, chúng ta tính tổng \( A \mod 3 \):
- Tổng các số hạng chẵn: có 1011 số hạng chẵn, mỗi số hạng \( 2^{2k} \equiv 1 \mod 3 \). Vậy tổng số hạng chẵn là \( 1011 \cdot 1 \equiv 1011 \mod 3 \).
- Tổng các số hạng lẻ: có 1011 số hạng lẻ, mỗi số hạng \( 2^{2k+1} \equiv 2 \mod 3 \). Vậy tổng số hạng lẻ là \( 1011 \cdot 2 \equiv 2022 \mod 3 \).

Bây giờ, chúng ta tính \( 2022 \mod 3 \):
- \( 2022 \div 3 = 674 \) dư 0, tức là \( 2022 \equiv 0 \mod 3 \).

Vậy tổng tất cả các hạng trong \( A \mod 3 \) là:
\[
A \equiv 1011 + 2022 \equiv 1011 \mod 3 \text{ và } 1011 = 3 \cdot 337 + 0 \Rightarrow 1011 \equiv 0 \mod 3
\]

Do đó, tổng \( A \) chia hết cho 3.

Kết luận: \( A \equiv 0 \mod 3 \) và do đó \( A \) chia hết cho 3.