a. Ta có O là trung điểm BC và O là trung điểm AN, suy ra OB = OC và OA = ON. Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB = AC. Kết hợp với OB = OC và OA = ON, ta có tứ giác ABNC là hình chữ nhật.

b. Ta có O là trung điểm BC và O là trung điểm AN, suy ra OB = OC và OA = ON. Từ a, ta đã chứng minh tứ giác ABNC là hình chữ nhật. Khi đó, ta có AB // NC và AB = NC.

Trên tia đối CN lấy D sao cho C là trung điểm của DN. Khi đó, ta có CD // AB và CD = AB. Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.

c. Gọi P là giao điểm của AC và BD. Ta có PI // AE và PI = 2MI (do M là trung điểm ID).

Gọi F là giao điểm của AE và CD. Ta có MF // AC và MF = 2EQ (do M là trung điểm AE).

Áp dụng định lí Thales trong tam giác PIF, ta có:

PF/PI = EQ/MF

PF/2MI = EQ/2EQ

PF/MI = 1

Vậy PF = MI.

Từ đó, ta có PE // CD và PE = 2PF = 2MI = AE.

Vậy AE = 3EQ.