a.

AB = AC (gt)

=> Tam giác ABC cân tại A

AN = NB = \(\frac{AB}{2}\) (N là trung điểm của AB)

AM = MC = \(\frac{AC}{2}\) (M là trung điểm của AC)

mà AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

=> AM = MC = AN = NB 

Xét tam giác ABM và tam giác ACN có:

AM = AN (chứng minh trên)

A là góc chung

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

=> Tam giác ABM = Tam giác ACN (c.g.c)

Xét tam giác BNC và tam giác CMB có:

BN = CN (chứng minh trên)

NBC = MCB (tam giác ABC cân tại A)

BC là cạnh chung

=> Tam giác BNC = Tam giác CMB (c.g.c)

b.

MB = ME (M là trung điểm của BE)

NC = NF (N là trung điểm của CF)

mà MB = NC (tam giác BNC = tam giác CMB)

=> ME = NF

ANF = BNC (2 góc đối đỉnh)

AME = CMB (2 góc đối đỉnh)

mà BNC = CMB (tam giác BNC = CMB)

=> ANF = AME

Xét tam giác ANF và tam giác AME có:

AN = AM (chứng minh trên)

ANF = AME (chứng minh trên)

NF = ME (chứng minh trên)

=> Tam giác ANF = tam giác AME (c.g.c)

=> AF = AE (2 cạnh tương ứng)

=> A là trung điểm của FE

c.

AM = AN (chứng minh trên)

=> Tam giác ANM cân tại A

=> \(ANM=\frac{180^0-NAM}{2}\) (1)

Tam giác ABC cân tại A

=> \(ABC=\frac{180^0-BAC}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) 

=> ANM = ABC 

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> MN // BC

Xét tam giác ANF và BNC có:

AN = NB (N là trung điểm của AB)

ANF = BNC (2 góc đối đỉnh)

NF = NC (N là trung điểm của FC)

=> Tam giác ANF = Tam giác BNC (c.g.c)

=> FAN = CBN (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AF // BC

mà MN // BC (chứng minh trên)

=> EF // MN // BC