Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.trên cùng 1 nửa mặt phẳng có chứ nửa đường tròn

Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học và hình học tỷ lệ.

1. Chứng minh 4 điểm A, O, M, H cùng thuộc một đường tròn:
- Ta có Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểm A, nên góc OAM = 90 độ.
- Ta có OH vuông góc BC (do OH là đường cao của tam giác OBC), nên góc OHB = 90 độ.
- Vậy, góc OAM = góc OHB = 90 độ, suy ra 4 điểm A, O, M, H cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh OH.HD = BC:
- Ta có OH vuông góc BC (do OH là đường cao của tam giác OBC), nên góc OHB = 90 độ.
- Ta có AB là đường kính của nửa đường tròn, nên góc AOB = 90 độ.
- Vậy, góc OHB = góc AOB = 90 độ, suy ra OH // AB.
- Khi đó, ta có tam giác OHD và tam giác BCD đồng dạng (do có 2 góc vuông và góc giữa tương đương), nên ta có tỉ số đồng dạng: OH/BC = HD/CD.
- Ta có HD = CD (do H là trung điểm của BC), suy ra OH = BC.
- Vậy, OH.HD = BC^2.

3. Chứng minh OM vuông góc AD:
- Ta có OH vuông góc BC (do OH là đường cao của tam giác OBC), nên góc OHB = 90 độ.
- Ta có AB là đường kính của nửa đường tròn, nên góc AOB = 90 độ.
- Vậy, góc OHB = góc AOB = 90 độ, suy ra OH // AB.
- Ta có OH // AB và OM cắt AB tại D, nên theo tính chất của đường song song, ta có góc ODM = góc OAB = 90 độ.
- Vậy, OM vuông góc AD.