Tìm giá trị nhỏ nhất: 2x^2 + 2y^2 - 6x - 6y + 2xy + 11

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x^2 + 2y^2 - 6x - 6y + 2xy + 11, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành tứ diện hoặc sử dụng đạo hàm.

1. Sử dụng phương pháp hoàn thành tứ diện:
Biểu thức có thể được viết lại thành:
(2x^2 - 6x + 2xy) + (2y^2 - 6y + 11)
= 2x(x - 3) + 2y(y - 3) + 11
= 2(x - 3/2)^2 - 9/2 + 2(y - 3/2)^2 - 9/2 + 11
= 2(x - 3/2)^2 + 2(y - 3/2)^2 + 13/2

Vì (x - 3/2)^2 và (y - 3/2)^2 không âm, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 13/2 khi x = 3/2 và y = 3/2.

2. Sử dụng đạo hàm:
Đạo hàm riêng theo x và y của biểu thức là:
∂/∂x (2x^2 + 2y^2 - 6x - 6y + 2xy + 11) = 4x - 6 + 2y
∂/∂y (2x^2 + 2y^2 - 6x - 6y + 2xy + 11) = 4y - 6 + 2x

Để tìm điểm cực tiểu, ta giải hệ phương trình sau:
4x - 6 + 2y = 0
4y - 6 + 2x = 0

Từ hệ phương trình trên, ta có:
x = 3/2
y = 3/2

Thay x và y vào biểu thức ban đầu, ta được giá trị nhỏ nhất là 13/2.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x^2 + 2y^2 - 6x - 6y + 2xy + 11 là 13/2.