Chứng minh rằng

Ta có:
(1/x + 1/y + 1/z )^2 = 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2
⇔ (x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xy + 2yz + 2zx)(xyz)^2 = x^2y^2z^2 + y^2z^2x^2 + z^2x^2y^2
⇔ x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xy + 2yz + 2zx = xyz + xy + yz + zx
⇔ x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + xy + yz + zx = xyz
⇔ (xy + yz + zx)(xy + yz + zx - 1) = xyz
⇔ (xy + yz + zx)(xy + yz + zx - 1) - xyz = 0
⇔ (xy + yz + zx - 1)(xy + yz + zx - xyz) = 0
⇔ (xy + yz + zx - 1)(xy + yz + zx(1 - z)) = 0

Vì (xy + yz + zx - 1) không thể bằng 0 (vì nếu bằng 0 thì x, y, z phải bằng 1, nhưng không thỏa mãn điều kiện ban đầu), nên ta có:
xy + yz + zx(1 - z) = 0
⇔ xy + yz - xyz + zx - zx^2 = 0
⇔ xy + yz + zx - xyz = zx^2
⇔ xy + yz + zx - xyz = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2
⇔ xy(1 - z) + yz(1 - x) + zx(1 - y) = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2

Vì x, y, z thỏa mãn (1/x + 1/y + 1/z )^2 = 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2, nên ta có:
x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z)
⇔ x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z)

Thay vào biểu thức trên, ta có:
xy(1 - z) + yz(1 - x) + zx(1 - y) = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z)
⇔ xy - xyz + yz - xyz + zx - xyz = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z)
⇔ xy + yz + zx - 3xyz = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z)
⇔ 3xyz = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z)
⇔ 3xyz = (xy + yz + zx)((xy + yz + zx) - 2(x + y + z))
⇔ 3xyz = (xy + yz + zx)(xy + yz + zx - 2x - 2y - 2z)

Vì (xy + yz + zx)(xy + yz + zx - 2x - 2y - 2z) chia hết cho 3, nên 3xyz chia hết cho 3.
⇔ xyz chia hết cho 3.

Vậy x^3 + y^3 + z^3 chia hết cho 3.