Cho x, y, z thỏa mãn (1/x + 1/y + 1/z )^2 = 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2. CMR: x^3 + y^3 + z^3 chia hết cho 3.
0 trả lời
24 Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Ta có: (1/x + 1/y + 1/z )^2 = 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 ⇔ (x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xy + 2yz + 2zx)(xyz)^2 = x^2y^2z^2 + y^2z^2x^2 + z^2x^2y^2 ⇔ x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xy + 2yz + 2zx = xyz + xy + yz + zx ⇔ x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + xy + yz + zx = xyz ⇔ (xy + yz + zx)(xy + yz + zx - 1) = xyz ⇔ (xy + yz + zx)(xy + yz + zx - 1) - xyz = 0 ⇔ (xy + yz + zx - 1)(xy + yz + zx - xyz) = 0 ⇔ (xy + yz + zx - 1)(xy + yz + zx(1 - z)) = 0 Vì (xy + yz + zx - 1) không thể bằng 0 (vì nếu bằng 0 thì x, y, z phải bằng 1, nhưng không thỏa mãn điều kiện ban đầu), nên ta có: xy + yz + zx(1 - z) = 0 ⇔ xy + yz - xyz + zx - zx^2 = 0 ⇔ xy + yz + zx - xyz = zx^2 ⇔ xy + yz + zx - xyz = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 ⇔ xy(1 - z) + yz(1 - x) + zx(1 - y) = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 Vì x, y, z thỏa mãn (1/x + 1/y + 1/z )^2 = 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2, nên ta có: x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z) ⇔ x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z) Thay vào biểu thức trên, ta có: xy(1 - z) + yz(1 - x) + zx(1 - y) = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z) ⇔ xy - xyz + yz - xyz + zx - xyz = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z) ⇔ xy + yz + zx - 3xyz = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z) ⇔ 3xyz = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z) ⇔ 3xyz = (xy + yz + zx)((xy + yz + zx) - 2(x + y + z)) ⇔ 3xyz = (xy + yz + zx)(xy + yz + zx - 2x - 2y - 2z) Vì (xy + yz + zx)(xy + yz + zx - 2x - 2y - 2z) chia hết cho 3, nên 3xyz chia hết cho 3. ⇔ xyz chia hết cho 3. Vậy x^3 + y^3 + z^3 chia hết cho 3.