Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh BC lấy điểm M

A) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật:
Ta có MB < MC và ME vuông góc với AC, suy ra ME < MC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AB là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, AM là đường trung bình của tam giác ABC.
Vậy, AM = MB = ME.
Mà AM = ME, suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật.

B) Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BD, chứng minh CD song song MN:
Ta có CN = BD và tam giác ABC vuông tại A, suy ra CN là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, CN vuông góc với AB.
Vì CN = BD, suy ra BD cũng vuông góc với AB.
Vậy, CD song song với MN.

C) Đường thẳng qua B và song song với DN cắt đường thẳng coi là song song với AB tại K, gọi I là trung điểm của DN và MC, P là trung điểm của CK. Kẻ đường thẳng song song với AB cắt BK tại Q. Chứng minh ba điểm N, P, Q thẳng hàng:
Ta có DN song song với BK (do DN và BK đều song song với AB).
Vì I là trung điểm của DN và MC, suy ra IP song song với DN.
Mà DN song song với BK, suy ra IP song song với BK.
Vậy, IP là đường song song với BK.
Vì P là trung điểm của CK, suy ra PQ song song với BK.
Mà BK song song với AB, suy ra PQ song song với AB.
Vậy, ba điểm N, P, Q thẳng hàng.