a) Ta có tam giác ABC cân tại đỉnh A, do đó AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vì M là trung điểm của BC, nên AM cắt BC tại điểm N sao cho MN = NA = NB.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Ta có MP ⊥ AB và MN ⊥ AB, nên MP // MN. Do đó, ta có MP = MN.

Tương tự, gọi K là hình chiếu vuông góc của Q lên AC. Ta có MQ ⊥ AC và MN ⊥ AC, nên MQ // MN. Do đó, ta có MQ = MN.

Vì MN = NA = NB, nên ta có MP = MQ.

Do tam giác ABC cân tại đỉnh A, nên ta có AP = AQ.

Vậy ta đã chứng minh được MP = MQ và AP = AQ.

b) Ta đã chứng minh ở câu a) rằng MP = MQ và AP = AQ. Vì M là trung điểm của BC, nên ta có MN = NA = NB. Khi đó, ta có MP = MN và AP = NA.

Vì MP = MN và AP = NA, nên tam giác MPA cân tại đỉnh A. Do đó, AM là đường trung trực của BC.

Vậy ta đã chứng minh AM là đường trung trực của BC.

c) Ta đã chứng minh ở câu a) rằng MP = MQ. Vì MN = NA = NB, nên ta có MP = MN và MQ = MN.

Vậy ta có MP = MQ và PQ // BC.