Để chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24, ta cần chứng minh rằng nó chia hết cho cả 3 và 8.

1. Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p không chia hết cho 3. Khi đó, p có thể được viết dưới dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2, với k là một số nguyên.
- Nếu p = 3k + 1, thì (p - 1)(p + 1) = (3k + 1 - 1)(3k + 1 + 1) = 3k(3k + 2) = 3k(3k + 1) + 2k(3k + 1). Vì 3k(3k + 1) và 2k(3k + 1) chia hết cho 3, nên (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3.
- Nếu p = 3k + 2, thì (p - 1)(p + 1) = (3k + 2 - 1)(3k + 2 + 1) = (3k + 1)(3k + 3) = 3(3k + 1)(k + 1). Vì (3k + 1)(k + 1) chia hết cho 3, nên (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3.

2. Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 8:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p không chia hết cho 2. Khi đó, p có thể được viết dưới dạng 2k + 1, với k là một số nguyên.
(p - 1)(p + 1) = (2k + 1 - 1)(2k + 1 + 1) = (2k)(2k + 2) = 4k(k + 1). Vì k(k + 1) chia hết cho 2, nên (p - 1)(p + 1) chia hết cho 8.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho cả 3 và 8, do đó nó chia hết cho 24.