Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) . Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A,B là hai tiếp điểm).Gọi C là giao điểm của OM và AB

Để chứng minh a) ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc MAB và góc MBA là góc nội tiếp cùng nhìn vào cung cùng tạo bởi hai tiếp tuyến MA và MB. Do đó, góc MAB = góc MBA.

Tương tự, góc MOB và góc MBO là góc ngoại tiếp cùng nhìn vào cung cùng tạo bởi hai tiếp tuyến MA và MB. Do đó, góc MOB = góc MBO.

Từ hai quan sát trên, ta có:
góc MAB = góc MBA = góc MOB = góc MBO

Vậy ta có thể kết luận rằng các điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

Để chứng minh b), ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.

Vì các điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn, nên ta có tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp.

Theo định lý Ptolemy, ta có:
MA. OB + MB. OA = MO. AB

Vì AB là đường kính của đường tròn (O;R), nên AB = 2R.

Vì tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp, nên góc MAB + góc MOB = 180°.

Do đó, góc MOB = 180° - góc MAB.

Thay vào công thức Ptolemy, ta có:
MA. OB + MB. OA = MO. AB
MA. OB + MB. OA = MO. 2R
MA. OB + MB. OA = 2R. MO
MA. OB + MB. OA - 2R. MO = 0
MA. OB - 2R. MO = - MB. OA

Vì C là giao điểm của OM và AB, nên ta có:
OC = OA + AC = OA + (MA + MB) = OA + MA + MB

Thay vào công thức trên, ta có:
MA. OB - 2R. MO = - MB. OA
MA. OB - 2R. MO = - MB. (OC - OA)
MA. OB - 2R. MO = - MB. (OA + MA + MB - OA)
MA. OB - 2R. MO = - MB. (MA + MB)
MA. OB - 2R. MO = - MB. MC

Vậy ta có:
MA. OB - 2R. MO = - MB. MC
MA. OB = 2R. MO - MB. MC
MA. OB = MO. (2R - MB) + MB. MC
MA. OB = MO. MC + MB. MC
MA. OB = MC. (MO + MB)
MA. OB = MC. MOB

Vậy ta có MQ.MD = MC.MO.

Vậy đã chứng minh xong.