a. Để M là phân số, ta cần điều kiện là tử số và mẫu số của M đều là số nguyên và mẫu số khác 0.

Tử số của M là 3n + 5 và mẫu số của M là n + 1.

Để tử số là số nguyên, ta cần 3n + 5 chia hết cho n + 1. Điều này tương đương với việc 3n + 5 - (n + 1)(3) chia hết cho n + 1. Ta có:

3n + 5 - (n + 1)(3) = 3n + 5 - 3n - 3 = 2

Vậy, điều kiện để M là phân số là 2 chia hết cho n + 1.

b. Khi n = 0:

M = (3(0) + 5)/(0 + 1) = 5/1 = 5

Khi n = 2:

M = (3(2) + 5)/(2 + 1) = 11/3

c. Để M là số nguyên, ta cần điều kiện là tử số chia hết cho mẫu số.

Tử số của M là 3n + 5 và mẫu số của M là n + 1.

Điều kiện để M là số nguyên là (3n + 5) chia hết cho (n + 1).

Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất của 3n + 5 và n + 1.

Tuy nhiên, để tìm tất cả các giá trị nguyên của n để M là số nguyên, ta có thể thử từng giá trị nguyên của n và kiểm tra điều kiện.

Ví dụ: n = -1, M = (3(-1) + 5)/(-1 + 1) = 2/0, không phải là số nguyên.

n = 0, M = (3(0) + 5)/(0 + 1) = 5/1 = 5, là số nguyên.

n = 1, M = (3(1) + 5)/(1 + 1) = 8/2 = 4, là số nguyên.

n = 2, M = (3(2) + 5)/(2 + 1) = 11/3, không phải là số nguyên.

...

Tiếp tục thử các giá trị nguyên của n, ta có thể tìm tất cả các giá trị nguyên của n để M là số nguyên.