a) Ta có:
- AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AOB = 90°.
- AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AOC = 90°.
- Góc AOB và góc AOC đều bằng 90° nên AB // AC.
- Góc BAO và góc BDA là góc đồng vị nên AB // BD.
- Vậy ta có BD // AO.

b) Ta có:
- Đường kính CD của đường tròn (O) là đường thẳng đi qua tâm O và tiếp xúc với tiếp tuyến AB tại B.
- Gọi I là giao điểm của đường kính CD và đường thẳng AO.
- Ta cần chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Ta có góc AOB = 90° (vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Góc AOB và góc AOC đều bằng 90° nên tam giác AOB và tam giác AOC đồng dạng.
- Do đó, góc BAO = góc CAO.
- Góc BAO và góc BDA là góc đồng vị nên góc CAO = góc BDA.
- Ta có góc BDA = góc BDC (vì BD là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Vậy, góc CAO = góc BDC.
- Do đó, tam giác AOC và tam giác BDC đồng dạng.
- Vậy, góc ACO = góc BCD.
- Ta có góc ACO = góc ABO (vì tam giác AOB và tam giác AOC đồng dạng).
- Vậy, góc ABO = góc BCD.
- Do đó, tam giác ABO và tam giác BCD đồng dạng.
- Vậy, góc OBI = góc OCB.
- Ta có góc OCB = góc OBC (vì tam giác OCB đều).
- Vậy, góc OBI = góc OBC = góc OCB.
- Do đó, tam giác OBI đều.
- Vậy, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c) Gọi E' là giao điểm của tiếp tuyến tại E với đường tròn (O).
- Ta cần chứng minh E' nằm trên đoạn thẳng BC.
- Gọi M' là giao điểm của tiếp tuyến tại E' với đường AB.
- Gọi N' là giao điểm của tiếp tuyến tại E' với đường AC.
- Ta cần chứng minh M' nằm trên đoạn thẳng AB và N' nằm trên đoạn thẳng AC.
- Ta có góc AOB = 90° (vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Góc AOB và góc AOC đều bằng 90° nên tam giác AOB và tam giác AOC đồng dạng.
- Do đó, góc BAO = góc CAO.
- Góc BAO và góc BDA là góc đồng vị nên góc CAO = góc BDA.
- Ta có góc BDA = góc BDC (vì BD là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Vậy, góc CAO = góc BDC.
- Do đó, tam giác AOC và tam giác BDC đồng dạng.
- Vậy, góc ACO = góc BCD.
- Ta có góc ACO = góc ABO (vì tam giác AOB và tam giác AOC đồng dạng).
- Vậy, góc ABO = góc BCD.
- Do đó, tam giác ABO và tam giác BCD đồng dạng.
- Vậy, góc OBE' = góc OCB.
- Ta có góc OCB = góc OBC (vì tam giác OCB đều).
- Vậy, góc OBE' = góc OBC = góc OCB.
- Do đó, tam giác OBE' đều.
- Vậy, E' nằm trên đoạn thẳng BC.
- Vậy, M' nằm trên đoạn thẳng AB và N' nằm trên đoạn thẳng AC.
- Vậy, ta có M' và N' là các điểm cần tìm.