Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2r

a) Ta có OM vuông góc với Ax và OM vuông góc với By (vì OM là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa Ax và By). Do đó, Ax và By là hai đường tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B, nên góc AOB = 90°.
Gọi góc COD = α. Ta có góc AOC = góc BOD = 90° - α (do góc AOB = 90°).
Vì OC và OD là hai đường tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OA = OC và OB = OD.
Do đó, tam giác OAC và tam giác OBD là hai tam giác cân.
Vậy, góc OCA = góc OAC = α và góc ODB = góc OBD = α.
Từ đó, ta có góc COD = góc OCA + góc ODB = α + α = 2α.
Nhưng góc COD = 90°, nên 2α = 90° và α = 45°.
Vậy, góc COD = 90°.

b) Ta có tam giác OAC và tam giác OBD là hai tam giác cân, nên OA = OC và OB = OD.
Gọi AM = x. Khi đó, MB = 2r - x.
Theo định lý hình học, ta có:
AC.BD = (OA + OC)(OB + OD) = (OA + OA)(OB + OB) = 2OA.2OB = 4r^2.
Vì tam giác OAC và tam giác OBD là hai tam giác cân, nên ta có:
AC = OC = OA và BD = OD = OB.
Do đó, AC.BD = OA.OB = (OA + OB)^2 - AB^2 = AM^2 - AB^2 = x^2 - (2r)^2 = x^2 - 4r^2.
Vậy, x^2 - 4r^2 = 4r^2 và x^2 = 8r^2.
Từ đó, ta có AC.BD = 4r^2 = AM^2.

c) Ta có góc COD = 90° (đã chứng minh ở câu a).
Vì góc COD = 90°, nên OC vuông góc với CD.
Mà OM vuông góc với CD (do đường thẳng OM vuông góc với mặt phẳng chứa Ax và By).
Vậy, OC // OM.
Tương tự, ta cũng có OB // OM.
Do đó, OC song song với BM.