a, Chứng minh: E, O, B, N cùng thuộc 1 đường tròn.

Ta có:
- Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn.
- Gọi H là giao điểm của tiếp tuyến Bx với đường thẳng AM.
- Gọi G là giao điểm của tiếp tuyến Bx với đường thẳng OE.

Ta có:
- Do AB là đường kính của nửa đường tròn, nên góc BIA = 90 độ.
- Do BM là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M, nên góc BMA = 90 độ.
- Do AM cắt nửa đường tròn tại N, nên góc ANM = 90 độ.
- Do OE vuông góc với AN tại E, nên góc AEN = 90 độ.

Từ các góc vuông trên, ta có:
- Góc BIA = Góc BMA = Góc ANM = Góc AEN = 90 độ.

Do đó, tứ giác BIAN là tứ giác nội tiếp trong đường tròn. Vì vậy, ta có:
- Góc BNI = Góc BAI = Góc BIA = 90 độ.

Từ đó, ta có tứ giác BNEI là tứ giác nội tiếp trong đường tròn. Vì vậy, ta có:
- Góc BNE = Góc BIE = 90 độ.

Như vậy, E, O, B, N cùng thuộc 1 đường tròn.

b, Chứng minh: KA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.

Ta có:
- Gọi P là giao điểm của tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O tại N với đường thẳng OE.
- Gọi Q là giao điểm của tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O tại N với đường thẳng MB.

Ta có:
- Do KA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O, nên góc KAN = 90 độ.
- Do OE vuông góc với AN tại E, nên góc AEN = 90 độ.
- Do tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O tại N cắt tia OE tại K, nên góc KNE = 90 độ.

Từ các góc vuông trên, ta có:
- Góc KAN = Góc AEN = Góc KNE = 90 độ.

Do đó, tứ giác KANE là tứ giác nội tiếp trong đường tròn. Vì vậy, ta có:
- Góc KAE = Góc KNE = 90 độ.

Từ đó, ta có KA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.