A. Để chứng minh abad chia hết cho 11 khi ab+cd chia hết cho 11, ta sử dụng định lý chia hết cho 11.

Theo định lý chia hết cho 11, một số nguyên dương chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu tổng các chữ số ở vị trí chẵn trừ tổng các chữ số ở vị trí lẻ của số đó chia hết cho 11.

Giả sử ab = 10a + b và cd = 10c + d, với a, b, c, d là các chữ số từ 0 đến 9.

Ta có abad = 1000a + 100b + 10a + d = 1010a + 100b + d.

Vì ab+cd chia hết cho 11, nên (10a + b) + (10c + d) chia hết cho 11.

Từ đó, ta có (10a + b) + (10c + d) = 10(a + c) + (b + d) chia hết cho 11.

Vì vậy, (b + d) - (a + c) chia hết cho 11.

Giả sử (b + d) - (a + c) = 11k, với k là một số nguyên.

Khi đó, abad = 1010a + 100b + d = 1010(a + c) + 100(b + d) - 100c = 1010(a + c) + 100(11k + 100c) - 100c = 1010(a + c) + 1100k.

Ta thấy rằng abad = 1010(a + c) + 1100k chia hết cho 11.

Vì vậy, abad chia hết cho 11 khi ab+cd chia hết cho 11.

B. Để chứng minh abcdeg chia hết cho 7 khi abc-deg chia hết cho 7, ta cũng sử dụng định lý chia hết cho 7.

Theo định lý chia hết cho 7, một số nguyên dương chia hết cho 7 khi và chỉ khi hiệu của số đó và bội số của 7 chia hết cho 7.

Giả sử abc = 100a + 10b + c và deg = 100d + 10e + g, với a, b, c, d, e, g là các chữ số từ 0 đến 9.

Ta có abcdeg = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + g.

Vì abc-deg chia hết cho 7, nên (100a + 10b + c) - (100d + 10e + g) chia hết cho 7.

Từ đó, ta có (100a + 10b + c) - (100d + 10e + g) = 100(a - d) + 10(b - e) + (c - g) chia hết cho 7.

Vì vậy, (c - g) - (a - d) chia hết cho 7.

Giả sử (c - g) - (a - d) = 7k, với k là một số nguyên.

Khi đó, abcdeg = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + g = 100000(a - d) + 10000(b - e) + 1000(7k + a) + 100(7k + b) + 10(7k + c) + (7k + g) = 100000(a - d) + 10000(b - e) + 1000(7k + a) + 100(7k + b) + 10(7k + c) + (7k + g) = 100000(a - d) + 10000(b - e) + 1000(7k) + 1000a + 100b + 10c + 7k + g = 100000(a - d) + 10000(b - e) + 1000(7k) + 1000a + 100b + 10c + 7k + g = 100000(a - d) + 10000(b - e) + 1000(7k) + 1000(a + b + c) + 10c + 7k + g.

Ta thấy rằng abcdeg = 100000(a - d) + 10000(b - e) + 1000(7k) + 1000(a + b + c) + 10c + 7k + g chia hết cho 7.

Vì vậy, abcdeg chia hết cho 7 khi abc-deg chia hết cho 7.