Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

a) Ta có:
- Trong tam giác ABC, đường cao AD chia tam giác thành hai tam giác nhỏ ABC và ADB.
- Trong tam giác ABC, đường cao BE chia tam giác thành hai tam giác nhỏ ABC và BEC.
- Trong tam giác ABC, đường cao CF chia tam giác thành hai tam giác nhỏ ABC và CFA.
- Vì đường cao chia tam giác thành hai tam giác nhỏ có cùng đáy, nên diện tích của chúng bằng nhau.
- Diện tích của tam giác ABC là S = 1/2 * AB * CF.
- Diện tích của tam giác ADB là S1 = 1/2 * AB * DH.
- Diện tích của tam giác BEC là S2 = 1/2 * BE * CF.
- Diện tích của tam giác CFA là S3 = 1/2 * CF * AE.
- Vì diện tích của hai tam giác nhỏ bằng nhau, ta có: S1 = S2 = S3.
- Từ đó suy ra: AB * DH = BE * CF = CF * AE.
- Vậy AB.BC = BE.AC = CF.AB.

b) Ta có:
- Từ phần a), ta có AB.BC = BE.AC = CF.AB.
- Chia cả hai vế của biểu thức cho AB.BC, ta được: 1 = DH/AD + HE/BE + HF/CF.
- Vậy HD/AD + HE/BE + HF/CF = 1.

c) Ta có:
- Trong tam giác ABC, đường cao AD chia tam giác thành hai tam giác nhỏ ABC và ADB.
- Diện tích của tam giác ABC là S = 1/2 * AB * CF.
- Diện tích của tam giác ADB là S1 = 1/2 * AB * DH.
- Vì diện tích của hai tam giác nhỏ bằng nhau, ta có: AB * DH = AB * CF.
- Chia cả hai vế của biểu thức cho AB, ta được: DH = CF.
- Vậy AD.DH = BD.DC.

đ) Ta có:
- Từ phần c), ta có AD.DH = BD.DC.
- Chia cả hai vế của biểu thức cho AD, ta được: DH/AD = BD/DC.
- Vậy tam giác ABH đồng dạng tam giác EDH.

ế) Ta có:
- Trong tam giác ABC, đường cao AD chia tam giác thành hai tam giác nhỏ ABC và ADB.
- Trong tam giác EDC, đường cao DH chia tam giác thành hai tam giác nhỏ EDC và EDH.
- Vì đường cao chia tam giác thành hai tam giác nhỏ có cùng đáy, nên diện tích của chúng bằng nhau.
- Diện tích của tam giác ABC là S = 1/2 * AB * CF.
- Diện tích của tam giác ADB là S1 = 1/2 * AB * DH.
- Diện tích của tam giác EDC là S2 = 1/2 * ED * CF.
- Diện tích của tam giác EDH là S3 = 1/2 * ED * DH.
- Vì diện tích của hai tam giác nhỏ bằng nhau, ta có: S1 = S2 = S3.
- Từ đó suy ra: AB * DH = ED * CF.
- Vậy tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC và tam giác BDF đồng dạng tam giác EDC.

f) Ta có:
- Trong tam giác ABC, đường cao AD chia tam giác thành hai tam giác nhỏ ABC và ADB.
- Trong tam giác AFD, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác nhỏ AFD và AFH.
- Vì đường cao chia tam giác thành hai tam giác nhỏ có cùng đáy, nên diện tích của chúng bằng nhau.
- Diện tích của tam giác ABC là S = 1/2 * AB * CF.
- Diện tích của tam giác ADB là S1 = 1/2 * AB * DH.
- Diện tích của tam giác AFD là S2 = 1/2 * AF * DH.
- Diện tích của tam giác AFH là S3 = 1/2 * AF * AH.
- Vì diện tích của hai tam giác nhỏ bằng nhau, ta có: S1 = S2 = S3.
- Từ đó suy ra: AB * DH = AF * AH.
- Vậy tam giác AHB đồng dạng tam giác AFD.

g) Điểm H cách đều 3 cạnh tam giác:
- Điểm H là giao điểm của các đường cao của tam giác ABC.
- Đường cao chia tam giác thành hai tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
- Vì vậy, điểm H cách đều 3 cạnh tam giác.