Trên nửa đường tròn tâm O đường kính PQ lấy một điểm M. Kẻ tia tiếp tuyến Px với nửa đường tròn

Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của hình học.

1/ Ta có:
- Góc NPM là góc phân giác của góc NPS nên góc NPM = góc NPS.
- Góc NPS là góc nội tiếp nên góc NPS = góc STQ.
- Góc STQ là góc phân giác của góc STI nên góc STQ = góc STI.
Vậy ta có: góc NPM = góc STI.
Từ đó, ta suy ra tứ giác STMI là tứ giác nội tiếp.

2/ Ta có:
- Góc NPM = góc STI (vì tứ giác STMI là tứ giác nội tiếp).
- Góc NPM = góc QTI (do PTI và QTI là góc đối).
Vậy ta có: góc QTI = góc STI.
Từ đó, ta suy ra PTI = TQI.

3/ Gọi K là trung điểm của IT.
- Ta có: KT = KI (vì K là trung điểm của IT).
- Ta có: ST = SI (vì tứ giác STMI là tứ giác nội tiếp).
Vậy ta có: KT = KI = ST = SI.
Từ đó, ta suy ra KS = KM.

- Ta có: OK song song với ST (do OK là đường phân giác góc SOT).
- Ta có: ST vuông góc với SM (do ST là đường phân giác góc NPS).
Vậy ta có: OK vuông góc SM.