Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD

Để chứng minh tứ giác OHDK nội tiếp, ta cần chứng minh góc OHK = góc ODK.

Ta có:
- Góc ODK = góc ODA (do AD là đường kính của đường tròn (O))
- Góc ODA = góc OBA (cùng chắn cung AD trên đường tròn (O))
- Góc OBA = góc OHK (cùng chắn cung AB trên đường tròn (O))

Vậy góc OHK = góc ODK, suy ra tứ giác OHDK nội tiếp.

Để chứng minh góc A BHD, ta cần chứng minh góc ABD = góc BHD.

Ta có:
- Góc ABD = góc ACD (cùng chắn cung AD trên đường tròn (O))
- Góc ACD = góc BHD (do AB // CD và AD là tiếp tuyến tại D)

Vậy góc A BHD.

Để chứng minh KD^2 = KB * KC, ta sử dụng định lý Pappus.

Áp dụng định lý Pappus cho hai đường thẳng ABK và ACK, ta có:
- Điểm giao của AB và AC là điểm A.
- Điểm giao của BK và CK là điểm H.
- Điểm giao của KB và KC là điểm D.

Theo định lý Pappus, ta có: KD, BC và AM đồng quy.

Vậy KD * DM = BD * CD.

Mà BD = HD (vì H là trung điểm của BC) và CD = KD (vì KD là tiếp tuyến tại D), nên ta có:
KD * DM = HD * KD.

Simplifying, ta có: KD^2 = HD * KD.

Vậy KD^2 = KB * KC.

Để chứng minh OM = ON, ta sử dụng định lý Pappus.

Áp dụng định lý Pappus cho hai đường thẳng AOM và AON, ta có:
- Điểm giao của AO và OM là điểm M.
- Điểm giao của AO và ON là điểm N.
- Điểm giao của OM và ON là điểm O.

Theo định lý Pappus, ta có: MO, AN và OM đồng quy.

Vậy MO * ON = AO * MN.

Mà AO = DO (vì AD là đường kính của đường tròn (O)) và MN = DN (vì DN là tiếp tuyến tại N), nên ta có:
MO * ON = DO * DN.

Simplifying, ta có: MO = ON.

Vậy OM = ON.