Chứng minh rằng các cạnh của tam giác BGD = 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đồng dạng và đường tia tạo góc bằng nhau.

a) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
- Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có BM/BA = BD/BC.
- Vì g là trung điểm của AD nên AG = GD.
- Từ đó suy ra BM/BA = BG/GD.
- Tương tự, ta có CM/CA = CG/GD.
- Kết hợp hai phương trình trên, ta có BM/BA = CM/CA.
- Từ đó suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác BGD.
- Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có BG/BA = BD/BC.
- Từ đó suy ra BG = 2/3 BC.

b) Ta có:
- Gọi E là giao điểm của đường tia BM và đường tia AC.
- Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có BE/BG = BA/BC.
- Từ đó suy ra BE = 1/3 BG.
- Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có DF/BD = DE/BE.
- Từ đó suy ra DF = 1/3 BD.
- Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có GE/CG = DE/BE.
- Từ đó suy ra GE = 1/3 CG.
- Kết hợp hai phương trình trên, ta có DF = GE = 1/3 BC.

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai câu hỏi a và b.