a. Ta có:
$\angle AFE = \angle ABE$ (cùng chắn cung AF trên đường tròn (O))
$\angle AEF = \angle ACF$ (cùng chắn cung AE trên đường tròn (O))
$\Rightarrow \triangle AFE \sim \triangle ABC$
$\Rightarrow \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$
$\Rightarrow AE.AC = AF.AB$

b. Ta có:
$\angle IEF = \angle IAG = \angle IBG$ (cùng chắn cung IG trên đường tròn (O))
$\Rightarrow IE$ tiếp tuyến với đường tròn (O)

c. Ta có:
$\angle AHC = \angle AGC = \angle IGC$ (cùng chắn cung IG trên đường tròn (O))
$\angle AHE = \angle AGF = \angle AFE$ (cùng chắn cung AF trên đường tròn (O))
$\Rightarrow \triangle AHE \sim \triangle AFE$
$\Rightarrow \frac{AH}{AE} = \frac{AE}{AF}$
$\Rightarrow AH.AE = AE.AF$
$\Rightarrow AH.AC = AE.AB$
$\Rightarrow \triangle AHC \sim \triangle ABE$
$\Rightarrow \angle AHC = \angle ABE$
$\Rightarrow \angle KHC = \angle KFE$
$\Rightarrow \triangle KHC \sim \triangle KFE$
$\Rightarrow \angle KCH = \angle KEF$
$\Rightarrow \angle KCD = \angle KED$
$\Rightarrow \angle KCD = \angle KED = \angle KFD$
$\Rightarrow B,K,D$ thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.