Cho tam giác đều ABC có đường cao BH

Gọi M là trung điểm của BC, ta có BM = MC = 1/2 BC và AM = MC = 1/2 AC.

Vì tam giác ABC đều nên ta có BM ⊥ AC và CM ⊥ AB. Do đó, ta có BM ⊥ CE và CM ⊥ BD.

Gọi N là giao điểm của BM và CE. Ta có BN = 1/3 BM = 1/6 BC và CN = 2/3 BM = 1/3 BC.

Vì tam giác ABC đều nên ta có BN = CN và góc NBC = góc NCB = 90 độ.

Do đó, tam giác BNC là tam giác vuông cân tại N.

Vậy, ta có BN = CN = BC/6 = BD/2.

Gọi P là giao điểm của BN và AD. Ta có BP = 1/3 BN = BD/6 và AP = 2/3 BN = BD/3.

Vậy, ta có BP = PD và AP = 2PD.

Từ đó, ta suy ra tam giác APD là tam giác vuông cân tại P.

Do đó, ta có AD = PD = AP/2 = BD/3.

Vậy, ta có BD^2 = DI × DA.

Gọi G là giao điểm của AC và BK. Ta có AG = GC = 1/2 AC và BG = GC = 1/2 BC.

Vì tam giác ABC đều nên ta có BG ⊥ AC và CG ⊥ AB. Do đó, ta có BG ⊥ CE và CG ⊥ BD.

Gọi H là giao điểm của BG và CE. Ta có BH = 1/3 BG = 1/6 BC và CH = 2/3 BG = 1/3 BC.

Vì tam giác ABC đều nên ta có BH = CH và góc BHC = góc HCB = 90 độ.

Do đó, tam giác BHC là tam giác vuông cân tại H.

Vậy, ta có BH = CH = BC/6 = BD/2.

Gọi Q là giao điểm của BH và DE. Ta có BQ = 1/3 BH = BD/6 và DQ = 2/3 BH = BD/3.

Vậy, ta có BQ = QD và DQ = 2BQ.

Từ đó, ta suy ra tam giác DQB là tam giác vuông cân tại Q.

Do đó, ta có góc DQB = 45 độ.

Vậy, số đo góc CAK = 90 - 45 = 45 độ.