Cho tam giác đều ABC có đường cao BH

Ta có tam giác ABC đều nên ta có:
CE = 1/3 CA = 1/3 BC = BD

Gọi M là trung điểm của AC, ta có BM song song với DE và BM = 1/2 AC = 1/2 BC = BD/2
Vậy ta có tam giác BMD đều.

Gọi N là trung điểm của BD, ta có tam giác BND đều nên BN = ND = 1/2 BD

Ta có tam giác BCI và tam giác BDE đồng dạng nên ta có:
CI/IE = BC/DE = 3
=> CI = 3IE

Gọi x = CI, ta có IE = x/3
Ta có tam giác BIE đồng dạng với tam giác BMD nên ta có:
BM/BD = IE/BD
=> 1/2 = x/3BD
=> BD = 3x/2

Gọi y = DI, ta có AI = 3y
Ta có tam giác AID đồng dạng với tam giác BCD nên ta có:
BC/BD = DI/AI
=> 3/3x = y/3y
=> x = y

Vậy ta có: BD^2 = DI × DA

Gọi G là giao điểm của CK và AB, ta có tam giác BCG đồng dạng với tam giác BDE nên ta có:
BC/BD = CG/GE
=> 3/3x = CG/(3x/3)
=> CG = 1

Vậy ta có tam giác CAG đều nên góc CAK = 60 độ.