a) Để hàm số y = (m^2 + 2m + 3)x^2 đồng biến, ta cần xác định dấu của hệ số của x^2. Ta thấy hệ số của x^2 là m^2 + 2m + 3. Để hàm số đồng biến, ta cần hệ số này luôn dương.

Điều kiện để hệ số m^2 + 2m + 3 luôn dương là delta của phương trình bậc 2 này phải lớn hơn hoặc bằng 0. Delta của phương trình m^2 + 2m + 3 = 0 là 2^2 - 4*1*3 = 4 - 12 = -8. Vì delta âm nên hàm số không đồng biến.

b) Để hàm số y = (m^2 + 2m + 3)x^2 nghịch biến, ta cũng cần xác định dấu của hệ số của x^2. Ta thấy hệ số của x^2 là m^2 + 2m + 3. Để hàm số nghịch biến, ta cần hệ số này luôn âm.

Điều kiện để hệ số m^2 + 2m + 3 luôn âm là delta của phương trình bậc 2 này phải lớn hơn 0. Delta của phương trình m^2 + 2m + 3 = 0 là -8 như đã tính ở trên. Vì delta âm nên hàm số không nghịch biến.

c) Khi x = 1, y = 6, ta có:
6 = (m^2 + 2m + 3) * 1^2
6 = m^2 + 2m + 3
m^2 + 2m - 3 = 0

Giải phương trình trên ta được m = 1 hoặc m = -3. Vậy m = 1 hoặc m = -3.