Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho

a) Ta có:
$\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$ (do $MA, MB$ là tiếp tuyến của đường tròn)
$\angle OAM = \angle OBM$ (cùng chắn cung $AB$)
$\Rightarrow \triangle OAM \sim \triangle OBM$
$\Rightarrow \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OM}{OB} = 2$
$\Rightarrow OA = 2OB$

Do đó, ta có tứ giác $MAOB$ nội tiếp và $MB^2 = 4AE \cdot EC$ (do $E$ là trung điểm của $MB$).

b) Ta có:
$\angle ABD = \angle OBM = \angle OAM = \angle ADB$
$\angle ADB = \angle ABD$
$\Rightarrow$ Tứ giác $ABD$ là tứ giác cân.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $MI$ và $AD$. Ta có:
$\angle KIA = \angle KID = 90^\circ$ (do $MI \perp AI$ và $AD \perp DI$)
$\angle KAI = \angle KDI$ (cùng chắn cung $KD$)
$\angle KIA = \angle KDI$
$\Rightarrow$ Tứ giác $KIDA$ là tứ giác cân.

Ta có: $KD = KA = \dfrac{1}{3}AD$ (do tứ giác $KIDA$ cân)
Vậy $KD = 3KA$.