Để chứng minh rằng phân số $\frac{n+4}{2n+9}$ là tối giản với mọi số tự nhiên $n$, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của $n+4$ và $2n+9$ là 1.

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $n+4$ và $2n+9$. Ta có:
$$d | (n+4) \quad \text{và} \quad d | (2n+9)$$
Từ đó, ta có:
$$d | 2(n+4) - (2n+9) = 1$$
Do đó, ước chung lớn nhất của $n+4$ và $2n+9$ là 1, tức là phân số $\frac{n+4}{2n+9}$ là tối giản với mọi số tự nhiên $n$.