Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường thẳng BE và CF ( E thuộc A, F thuộc AB)

Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lý trong hình học và tính chất của tam giác.

1. Ta có: $\angle ABE = \angle ACF$ (cùng phụ), $\angle BAE = \angle CAF$ (cùng phụ), $\angle ABC = \angle ACB$ (cùng nhau). Do đó, tam giác ABC đồng dạng với tam giác ACF theo định lý góc đồng dạng.

2. Ta có: $\angle EHB = 90^\circ$ (do EH vuông góc với BC), suy ra tam giác EHB vuông tại H. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ta có: $EH^2 = HB \cdot HC$.

3. Ta có: $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MN$ song song với $EF$ và $MN = \frac{1}{2}EC$. Gọi $G$ là giao điểm của $CD$ và $MN$, ta có $CG \parallel EF$ và $CG = \frac{1}{2}EC = CN$. Do đó, tam giác $CNG$ đồng dạng với tam giác $CEF$ theo định lý đồng dạng. Từ đó, ta có $\angle CNG = \angle CEF = \angle CEB = \angle CDB$, suy ra $CD \parallel BE$. Áp dụng định lý Thales ta có $\frac{CI}{ID} = \frac{CG}{GD} = \frac{CN}{ND} = 1$, do đó $I$ là trung điểm của $EH$.

Vậy ta đã chứng minh được các phần trên.