a) Ta có:
\[\angle AMD = \angle AKM = \angle BKM = \angle BCD = \angle ACD = \angle ABD = \angle CMD\]
Do đó tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn. Tương tự, tứ giác BCKM cũng nội tiếp đường tròn.

b) Ta có:
\[\angle MKI = \angle AKI = \angle ACI = \angle MCI\]
Do đó tứ giác MKCI nội tiếp. Từ đó suy ra:
\[MK \cdot MA = MI \cdot MC = MB \cdot MD\]

c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD. Ta cần chứng minh E nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI.

Ta có:
\[\angle EKD = 2\angle EAD = 2\angle EAC = 2\angle ICB = \angle KCB\]
Do đó tứ giác EKCB nội tiếp. Tương tự, tứ giác EKAD cũng nội tiếp.

Khi đó, ta có:
\[\angle EKD = \angle EKB = \angle ACB\]
Vậy E nằm trên đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI.