Tính tổng

Để tính tổng S, ta có thể nhận thấy mẫu số của từng phần tử trong dãy là tích của 2 số liên tiếp, và tử số của từng phần tử là số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 3. Vậy ta có thể viết lại dãy như sau:

S = 1/2x3 + 1/4x5 + 1/6x7 + ... + 1/2020x2021 + 1/2022x2023
= 1/2(3-1) + 1/4(5-1) + 1/6(7-1) + ... + 1/2020(2021-1) + 1/2022(2023-1)
= 1/2 - 1/4 + 1/4 - 1/6 + 1/6 - 1/8 + ... + 1/2020 - 1/2022 + 1/2022 - 1/2024
= 1/2 - 1/2024

Vậy S = 1/2 - 1/2024

Để so sánh S và 1011/2023, ta cần chuyển 1011/2023 về dạng có mẫu số là 2024:

1011/2023 = (1011/2023) x (2024/2024) = 2046864/4086572

Vậy ta có:
S = 1/2 - 1/2024 = 1012/2024 - 1/2024 = 1011/2024
1011/2024 < 1011/2023

Vậy ta có kết luận: S < 1011/2023.