Để giải bài toán cho \( B = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{60} \), ta dùng công thức tổng của một cấp số nhân.

### a) Thu gọn \( B \)

Cấp số này có:
- Hệ số đầu \( a = 2 \)
- Công bội \( q = 2 \)
- Số hạng cuối là \( 2^{60} \)

Số hạng cuối \( n \) được tính bằng:
\[
n = 60
\]

Công thức tính tổng \( S_n \) của một cấp số nhân là:
\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Áp dụng vào trường hợp này:
\[
B = 2 \frac{2^{60} - 1}{2 - 1} = 2(2^{60} - 1) = 2^{61} - 2
\]

Vậy, tổng \( B \) thu gọn thành:
\[
B = 2^{61} - 2
\]

### b) \( B \) có phải là số chính phương không?

Một số chính phương là số có thể viết dưới dạng \( k^2 \) với \( k \) là số nguyên.

Ta xem lại biểu thức của \( B \):
\[
B = 2^{61} - 2 = 2(2^{60} - 1)
\]

Kiểm tra \( 2^{60} - 1 \):
- \( 2^{60} - 1 \) là một số lẻ, nên \( 2(2^{60} - 1) \) là một số chẵn.

Tuy nhiên, để thao tác dễ hơn, ta cần xem khả năng viết \( 2^{60} - 1 \) dưới dạng bình phương.

Dễ thấy rằng:
\[
2^{60} - 1 = (2^{30})^2 - 1^2 = (2^{30} - 1)(2^{30} + 1)
\]

Hai thừa số này là hai số liên tiếp (một số lẻ và một số chẵn), do đó, không có tích của hai số này là một bình phương.

Kết luận:
- \( B \) không phải là số chính phương, vì không thể viết được dưới dạng \( k^2 \).

Tóm lại:
- \( B = 2^{61} - 2 \)
- \( B \) không phải là số chính phương.