a, Ta có:
\(\angle CDF = \angle CAD\) (cùng chắn cung AD)
\(\angle CEF = \angle CBF\) (cùng chắn cung CB)
Do đó, tứ giác CDFE là tứ giác nội tiếp.

b, Ta có:
\(\angle AEF = \angle ACB\) (cùng nằm trên cùng tia)
\(\angle ADF = \angle ACB\) (cùng chắn cung AD)
Do đó, tứ giác ACDF và AEFD đồng dạng.
Áp dụng định lý đồng dạng ta có:
\(\frac{AD}{AC} = \frac{AF}{AE}\)
\(\Rightarrow AD.AF = AC.AE\)

c, Ta có:
\(\angle BFI = \angle BDI\) (do IB là đường trung bình của tam giác BDF)
\(\angle BDI = \angle ADF\) (cùng chắn cung AD)
\(\angle ADF = \angle AEF\) (cùng đồng dạng)
\(\angle AEF = \angle BFI\) (do IF là đường trung bình của tam giác BFE)
Do đó, tứ giác AEFI nội tiếp.
Từ đó, suy ra \(\angle EDI = \angle EFI = \angle AFB = 90^\circ\) (do BF là tiếp tuyến của nửa đường tròn)
Vậy DI là tiếp tuyến của nửa đường tròn.