(2^n+1).(2^n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên

Để chứng minh rằng (2^n+1).(2^n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên, ta sẽ chia thành 2 trường hợp:

Trường hợp 1: n chẵn
Nếu n chẵn, tức là n = 2k với k là số tự nhiên, ta có:
(2^n+1).(2^n+2) = (2^(2k)+1).(2^(2k)+2) = (4^k+1).(4^k+2)

Ta thấy rằng 4^k chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên k, vì vậy (4^k+1) và (4^k+2) đều không chia hết cho 3. Tuy nhiên, tích của 2 số không chia hết cho 3 sẽ chia hết cho 3, do đó (2^n+1).(2^n+2) chia hết cho 3 khi n chẵn.

Trường hợp 2: n lẻ
Nếu n lẻ, tức là n = 2k + 1 với k là số tự nhiên, ta có:
(2^n+1).(2^n+2) = (2^(2k+1)+1).(2^(2k+1)+2) = (2.4^k+1).(2.4^k+2) = 2.(4^k+1).2.(4^k+2)

Tương tự như trường hợp trước, ta thấy rằng 4^k chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên k, vì vậy (4^k+1) và (4^k+2) đều không chia hết cho 3. Tích của 2 số không chia hết cho 3 sẽ chia hết cho 3, do đó (2^n+1).(2^n+2) chia hết cho 3 khi n lẻ.

Vậy ta kết luận rằng (2^n+1).(2^n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.