Để chứng minh ABMN là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tứ giác ABMN có tứ giác nội tiếp.

Ta có:
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có: AH là đường cao của tam giác ABC.
- N là trung điểm của AC nên AN = NC.
- M là trung điểm của HC nên HM = MC.

Ta cần chứng minh tứ giác ABMN có tứ giác nội tiếp, tức là chứng minh tứ giác ABMN có tứ giác nội tiếp tại A.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng tứ giác ABMN có tứ giác nội tiếp tại A, tức là góc AMN + góc ABN = 180°.

Ta có:
- Góc AMN = góc AMC (vì NM // BC) = góc HAC (vì NM // BC) = góc BAH (vì AH là đường cao của tam giác ABC) = góc ABN (vì AN = NC).
- Vậy góc AMN + góc ABN = góc BAH + góc ABN = 90° + 90° = 180°.

Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ giác ABMN là tứ giác nội tiếp.